怎么理解web的時間與空間復(fù)雜度

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算法（Algorithm）是指用來操作數(shù)據(jù)、解決程序問題的一組方法。對于同一個問題，使用不同的算法，也許最終得到的結(jié)果是一樣的，比如排序就有前面的十大經(jīng)典排序和幾種奇葩排序，雖然結(jié)果相同，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區(qū)別，比如快速排序與猴子排序：）。

那么我們應(yīng)該如何去衡量不同算法之間的優(yōu)劣呢？

主要還是從算法所占用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。

• 時間維度：是指執(zhí)行當(dāng)前算法所消耗的時間，我們通常用「時間復(fù)雜度」來描述。

• 空間維度：是指執(zhí)行當(dāng)前算法需要占用多少內(nèi)存空間，我們通常用「空間復(fù)雜度」來描述。

時間復(fù)雜度

大O符號表示法

大O表示法：算法的時間復(fù)雜度通常用大O符號表述，定義為 T[n] = O(f(n))。稱函數(shù)T(n)以f(n)為界或者稱T(n)受限于f(n)。

如果一個問題的規(guī)模是n，解這一問題的某一算法所需要的時間為T(n)。T(n)稱為這一算法的“時間復(fù)雜度”。

上面公式中用到的 Landau符號是由德國數(shù)論學(xué)家保羅·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析數(shù)論》首先引入，由另一位德國數(shù)論學(xué)家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推廣。Landau符號的作用在于用簡單的函數(shù)來描述復(fù)雜函數(shù)行為，給出一個上或下（確）界。在計算算法復(fù)雜度時一般只用到大O符號，Landau符號體系中的小o符號、Θ符號等等比較不常用。這里的O，最初是用大寫希臘字母，但現(xiàn)在都用大寫英語字母O；小o符號也是用小寫英語字母o，Θ符號則維持大寫希臘字母Θ。

大O符號是一種算法「復(fù)雜度」的「相對」「表示」方式。

這個句子里有一些重要而嚴謹?shù)挠迷~：

• 相對(relative)：你只能比較相同的事物。你不能把一個做算數(shù)乘法的算法和排序整數(shù)列表的算法進行比較。但是，比較2個算法所做的算術(shù)操作（一個做乘法，一個做加法）將會告訴你一些有意義的東西；

• 表示(representation)：大O(用它最簡單的形式)把算法間的比較簡化為了一個單一變量。這個變量的選擇基于觀察或假設(shè)。例如，排序算法之間的對比通常是基于比較操作(比較2個結(jié)點來決定這2個結(jié)點的相對順序)。這里面就假設(shè)了比較操作的計算開銷很大。但是，如果比較操作的計算開銷不大，而交換操作的計算開銷很大，又會怎么樣呢？這就改變了先前的比較方式；

• 復(fù)雜度(complexity)：如果排序10,000個元素花費了我1秒，那么排序1百萬個元素會花多少時間？在這個例子里，復(fù)雜度就是相對其他東西的度量結(jié)果。

常見的時間復(fù)雜度量級

我們先從常見的時間復(fù)雜度量級進行大O的理解：

• 常數(shù)階O(1)

• 線性階O(n)

• 平方階O(n2)

• 對數(shù)階O(logn)

• 線性對數(shù)階O(nlogn)

O(1)

無論代碼執(zhí)行了多少行，其他區(qū)域不會影響到操作，這個代碼的時間復(fù)雜度都是O(1)

void swapTwoInts(int &a, int &b){
  int temp = a;
  a = b;
  b = temp;
}

O(n)

在下面這段代碼，for循環(huán)里面的代碼會執(zhí)行 n 遍，因此它消耗的時間是隨著 n 的變化而變化的，因此可以用O(n)來表示它的時間復(fù)雜度。

int sum ( int n ){
   int ret = 0;
   for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
      ret += i;
   }
   return ret;
}

特別一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小于 1 ，比如下面這段代碼：

void reverse ( string &s ) {
    int n = s.size();
    for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
      swap ( s[i] , s[n-1-i]);
    }
}

O(n2)

當(dāng)存在雙重循環(huán)的時候，即把 O(n) 的代碼再嵌套循環(huán)一遍，它的時間復(fù)雜度就是 O(n2) 了。

void selectionSort(int arr[],int n){
   for(int i = 0; i < n ; i++){
     int minIndex = i;
     for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
       if (arr[j] < arr[minIndex])
           minIndex = j;

     swap ( arr[i], arr[minIndex]);
   }
}

這里簡單的推導(dǎo)一下

• 當(dāng) i = 0 時，第二重循環(huán)需要運行 (n - 1)  次

• 當(dāng) i = 1 時，第二重循環(huán)需要運行 (n - 2)  次

• 。。。。。。

不難得到公式：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0
= (0 + n - 1) * n / 2
= O (n ^2)

當(dāng)然并不是所有的雙重循環(huán)都是 O(n2)，比如下面這段輸出 30n 次Hello,五分鐘學(xué)算法：）的代碼。

void printInformation (int n ){
   for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
           cout<< "Hello,五分鐘學(xué)算法：）"<< endl;
}

O(logn)

int binarySearch( int arr[], int n , int target){
  int l = 0, r = n - 1;
  while ( l <= r) {
    int mid = l + (r - l) / 2;
    if (arr[mid] == target) return mid;
    if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
    else l = mid + 1;
  }
  return -1;
}

在二分查找法的代碼中，通過while循環(huán)，成 2 倍數(shù)的縮減搜索范圍，也就是說需要經(jīng)過 log2^n 次即可跳出循環(huán)。

同樣的還有下面兩段代碼也是 O(logn) 級別的時間復(fù)雜度。

// 整形轉(zhuǎn)成字符串
string intToString ( int num ){
 string s = "";
 // n 經(jīng)過幾次“除以10”的操作后，等于0
 while (num ){
  s += '0' + num%10;
  num /= 10;
 }
 reverse(s)
 return s;
}

void hello (int n ) {
   // n 除以幾次 2 到 1
   for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz) 
     for (int i = 1; i < n; i++)
        cout<< "Hello,五分鐘學(xué)算法：）"<< endl;
}

O(nlogn)

將時間復(fù)雜度為O(logn)的代碼循環(huán)N遍的話，那么它的時間復(fù)雜度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。

void hello (){
  for( m = 1 ; m < n ; m++){
    i = 1;
    while( i < n ){
        i = i * 2;
    }
   }
}

不常見的時間復(fù)雜度

下面來分析一波另外幾種復(fù)雜度： 遞歸算法的時間復(fù)雜度（recursive algorithm time complexity），最好情況時間復(fù)雜度（best case time complexity）、最壞情況時間復(fù)雜度（worst case time complexity）、平均時間復(fù)雜度（average case time complexity）和均攤時間復(fù)雜度（amortized time complexity）。

遞歸算法的時間復(fù)雜度

如果遞歸函數(shù)中，只進行一次遞歸調(diào)用，遞歸深度為depth；

在每個遞歸的函數(shù)中，時間復(fù)雜度為T；

則總體的時間復(fù)雜度為O(T * depth)。

在前面的學(xué)習(xí)中，歸并排序 與 快速排序 都帶有遞歸的思想，并且時間復(fù)雜度都是O(nlogn) ，但并不是有遞歸的函數(shù)就一定是 O(nlogn) 級別的。從以下兩種情況進行分析。

① 遞歸中進行一次遞歸調(diào)用的復(fù)雜度分析

二分查找法

int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){
    if( l > r ) return -1;

    int mid = l + (r-l)/2; 
    if( arr[mid] == target ) return mid;  
    else if( arr[mid] > target ) 
    return binarySearch(arr, l, mid-1, target);    // 左邊 
    else
    return binarySearch(arr, mid+1, r, target);   // 右邊
}

比如在這段二分查找法的代碼中，每次在 [ l ,  r  ] 范圍中去查找目標的位置，如果中間的元素arr[mid]不是target，那么判斷arr[mid]是比target大 還是 小 ，進而再次調(diào)用binarySearch這個函數(shù)。

在這個遞歸函數(shù)中，每一次沒有找到target時，要么調(diào)用 左邊 的binarySearch函數(shù)，要么調(diào)用 右邊 的binarySearch函數(shù)。也就是說在此次遞歸中，最多調(diào)用了一次遞歸調(diào)用而已。根據(jù)數(shù)學(xué)知識，需要log2n次才能遞歸到底。因此，二分查找法的時間復(fù)雜度為 O(logn)。

求和

int sum (int n) {
  if (n == 0) return 0;
  return n + sum( n - 1 )
}

在這段代碼中比較容易理解遞歸深度隨輸入 n 的增加而線性遞增，因此時間復(fù)雜度為 O (n)。

求冪

//遞歸深度：logn
//時間復(fù)雜度：O(logn)
double pow( double x, int n){
  if (n == 0) return 1.0;

  double t = pow(x,n/2);
  if (n %2) return x*t*t;
  return t * t;
}

遞歸深度為logn，因為是求需要除以 2 多少次才能到底。

② 遞歸中進行多次遞歸調(diào)用的復(fù)雜度分析

遞歸算法中比較難計算的是多次遞歸調(diào)用。

先看下面這段代碼，有兩次遞歸調(diào)用。

// O(2^n) 指數(shù)級別的數(shù)量級，后續(xù)動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化點
int f(int n){
 if (n == 0) return 1;
 return f(n-1) + f(n - 1);
}

與之有所類似的是 歸并排序 的遞歸樹，區(qū)別點在于

• 1. 上述例子中樹的深度為n，而 歸并排序 的遞歸樹深度為logn。

• 2. 上述例子中每次處理的數(shù)據(jù)規(guī)模是一樣的，而在 歸并排序 中每個節(jié)點處理的數(shù)據(jù)規(guī)模是逐漸縮小的

因此，在如 歸并排序 等排序算法中，每一層處理的數(shù)據(jù)量為 O(n) 級別，同時有logn層，時間復(fù)雜度便是 O(nlogn)。

最好、最壞情況時間復(fù)雜度

最好、最壞情況時間復(fù)雜度指的是特殊情況下的時間復(fù)雜度。

動圖表明的是在數(shù)組 array 中尋找變量 x 第一次出現(xiàn)的位置，若沒有找到，則返回 -1；否則返回位置下標。

int find(int[] array, int n, int x) {
  for (  int i = 0 ; i < n; i++) {
    if (array[i] == x) {
        return i;
        break;
    }
  }
  return -1;
}

在這里當(dāng)數(shù)組中第一個元素就是要找的 x 時，時間復(fù)雜度是 O(1)；而當(dāng)最后一個元素才是 x 時，時間復(fù)雜度則是 O(n)。

最好情況時間復(fù)雜度就是在最理想情況下執(zhí)行代碼的時間復(fù)雜度，它的時間是最短的；最壞情況時間復(fù)雜度就是在最糟糕情況下執(zhí)行代碼的時間復(fù)雜度，它的時間是最長的。

平均情況時間復(fù)雜度

最好、最壞時間復(fù)雜度反應(yīng)的是極端條件下的復(fù)雜度，發(fā)生的概率不大，不能代表平均水平。那么為了更好的表示平均情況下的算法復(fù)雜度，就需要引入平均時間復(fù)雜度。

平均情況時間復(fù)雜度可用代碼在所有可能情況下執(zhí)行次數(shù)的加權(quán)平均值表示。

還是以find函數(shù)為例，從概率的角度看， x 在數(shù)組中每一個位置的可能性是相同的，為 1 / n。那么，那么平均情況時間復(fù)雜度就可以用下面的方式計算：

((1 + 2 + … + n) / n + n)  /  2 = (3n + 1) / 4

find函數(shù)的平均時間復(fù)雜度為 O(n)。

均攤復(fù)雜度分析

我們通過一個動態(tài)數(shù)組的push_back操作來理解均攤復(fù)雜度。

template <typename T>
class MyVector{
private:
    T* data;
    int size;       // 存儲數(shù)組中的元素個數(shù)
    int capacity;   // 存儲數(shù)組中可以容納的最大的元素個數(shù)
    // 復(fù)雜度為 O(n)
    void resize(int newCapacity){
        T *newData = new T[newCapacity];
        for( int i = 0 ; i < size ; i ++ ){
              newData[i] = data[i];
            }
        data = newData;
        capacity = newCapacity;
    }
public:
    MyVector(){
        data = new T[100];
        size = 0;
        capacity = 100;
    }
    // 平均復(fù)雜度為 O(1)
    void push_back(T e){
        if(size == capacity)
            resize(2 * capacity);
        data[size++] = e;
    }
    // 平均復(fù)雜度為 O(1)
    T pop_back(){
        size --;
        return data[size];
    }

};

push_back實現(xiàn)的功能是往數(shù)組的末尾增加一個元素，如果數(shù)組沒有滿，直接往后面插入元素；如果數(shù)組滿了，即size == capacity，則將數(shù)組擴容一倍，然后再插入元素。

例如，數(shù)組長度為 n，則前 n 次調(diào)用push_back復(fù)雜度都為 O(1) 級別；在第 n + 1 次則需要先進行 n 次元素轉(zhuǎn)移操作，然后再進行 1 次插入操作，復(fù)雜度為 O(n)。

因此，平均來看：對于容量為 n 的動態(tài)數(shù)組，前面添加元素需要消耗了 1 * n 的時間，擴容操作消耗  n 時間 ，
總共就是 2 * n 的時間，因此均攤時間復(fù)雜度為 O(2n / n) = O(2)，也就是 O(1) 級別了。

可以得出一個比較有意思的結(jié)論：一個相對比較耗時的操作，如果能保證它不會每次都被觸發(fā)，那么這個相對比較耗時的操作，它所相應(yīng)的時間是可以分攤到其它的操作中來的。

空間復(fù)雜度

一個程序的空間復(fù)雜度是指運行完一個程序所需內(nèi)存的大小。利用程序的空間復(fù)雜度，可以對程序的運行所需要的內(nèi)存多少有個預(yù)先估計。一個程序執(zhí)行時除了需要存儲空間和存儲本身所使用的指令、常數(shù)、變量和輸入數(shù)據(jù)外，還需要一些對數(shù)據(jù)進行操作的工作單元和存儲一些為現(xiàn)實計算所需信息的輔助空間。程序執(zhí)行時所需存儲空間包括以下兩部分：

(1) 固定部分，這部分空間的大小與輸入/輸出的數(shù)據(jù)的個數(shù)多少、數(shù)值無關(guān)。主要包括指令空間（即代碼空間）、數(shù)據(jù)空間（常量、簡單變量）等所占的空間。這部分屬于靜態(tài)空間。

(2) 可變空間，這部分空間的主要包括動態(tài)分配的空間，以及遞歸棧所需的空間等。這部分的空間大小與算法有關(guān)。

一個算法所需的存儲空間用f(n)表示。S(n)=O(f(n))，其中n為問題的規(guī)模，S(n)表示空間復(fù)雜度。

空間復(fù)雜度可以理解為除了原始序列大小的內(nèi)存，在算法過程中用到的額外的存儲空間。

以二叉查找樹為例，舉例說明二叉排序樹的查找性能。

平衡二叉樹

如果二叉樹的是以紅黑樹等平衡二叉樹實現(xiàn)的，則 n 個節(jié)點的二叉排序樹的高度為 log2n+1 ，其查找效率為O(Log2n)，近似于折半查找。

列表二叉樹

如果二叉樹退變?yōu)榱斜砹?，則 n 個節(jié)點的高度或者說是長度變?yōu)榱薾，查找效率為O(n)，變成了順序查找。

一般二叉樹

介于「列表二叉樹」與「平衡二叉樹」之間，查找性能也在O(Log2n)到O(n)之間。

冰火交融

對于一個算法，其時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度往往是相互影響的。

比如說，要判斷某某年是不是閏年：

• 1. 可以編寫一個算法來計算，這也就意味著，每次給一個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結(jié)果。

• 2. 還有另一個辦法就是，事先建立一個有 5555 個元素的數(shù)組（年數(shù)比現(xiàn)實多就行），然后把所有的年份按下標的數(shù)字對應(yīng)，如果是閏年，此數(shù)組項的值就是1，如果不是值為0。這樣，所謂的判斷某一年是否是閏年，就變成了查找這個數(shù)組的某一項的值是多少的問題。此時，我們的運算是最小化了，但是硬盤上或者內(nèi)存中需要存儲這 5555 個 0 和 1 。

這就是典型的使用空間換時間的概念。

當(dāng)追求一個較好的時間復(fù)雜度時，可能會使空間復(fù)雜度的性能變差，即可能導(dǎo)致占用較多的存儲空間；  
反之，求一個較好的空間復(fù)雜度時，可能會使時間復(fù)雜度的性能變差，即可能導(dǎo)致占用較長的運行時間。

另外，算法的所有性能之間都存在著或多或少的相互影響。因此，當(dāng)設(shè)計一個算法(特別是大型算法)時，要綜合考慮算法的各項性能，算法的使用頻率，算法處理的數(shù)據(jù)量的大小，算法描述語言的特性，算法運行的機器系統(tǒng)環(huán)境等各方面因素，才能夠設(shè)計出比較好的算法。

到此，關(guān)于“怎么理解web的時間與空間復(fù)雜度”的學(xué)習(xí)就結(jié)束了，希望能夠解決大家的疑惑。理論與實踐的搭配能更好的幫助大家學(xué)習(xí)，快去試試吧！若想繼續(xù)學(xué)習(xí)更多相關(guān)知識，請繼續(xù)關(guān)注創(chuàng)新互聯(lián)網(wǎng)站，小編會繼續(xù)努力為大家?guī)砀鄬嵱玫奈恼拢?/p>

文章名稱：怎么理解web的時間與空間復(fù)雜度
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