C++怎么實(shí)現(xiàn)兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)-創(chuàng)新互聯(lián)

這篇文章主要講解了“C++怎么實(shí)現(xiàn)兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)”，文中的講解內(nèi)容簡單清晰，易于學(xué)習(xí)與理解，下面請大家跟著小編的思路慢慢深入，一起來研究和學(xué)習(xí)“C++怎么實(shí)現(xiàn)兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)”吧！

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兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

這道題讓我們求兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)，而且限制了時(shí)間復(fù)雜度為 O(log (m+n))，看到這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度，自然而然的想到了應(yīng)該使用二分查找法來求解。但是這道題被定義為 Hard 也是有其原因的，難就難在要在兩個(gè)未合并的有序數(shù)組之間使用二分法，如果這道題只有一個(gè)有序數(shù)組，讓求中位數(shù)的話，估計(jì)就是個(gè) Easy 題。對于這道題來說，可以將兩個(gè)有序數(shù)組混合起來成為一個(gè)有序數(shù)組再做嗎，圖樣圖森破，這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度限制的就是告訴你金坷垃別想啦。還是要用二分法，而且是在兩個(gè)數(shù)組之間使用，感覺很高端啊?；仡櫼幌轮形粩?shù)的定義，如果某個(gè)有序數(shù)組長度是奇數(shù)，那么其中位數(shù)就是最中間那個(gè)，如果是偶數(shù)，那么就是最中間兩個(gè)數(shù)字的平均值。這里對于兩個(gè)有序數(shù)組也是一樣的，假設(shè)兩個(gè)有序數(shù)組的長度分別為m和n，由于兩個(gè)數(shù)組長度之和 m+n 的奇偶不確定，因此需要分情況來討論，對于奇數(shù)的情況，直接找到最中間的數(shù)即可，偶數(shù)的話需要求最中間兩個(gè)數(shù)的平均值。為了簡化代碼，不分情況討論，使用一個(gè)小 trick，分別找第 (m+n+1) / 2 個(gè)，和 (m+n+2) / 2 個(gè)，然后求其平均值即可，這對奇偶數(shù)均適用。若 m+n 為奇數(shù)的話，那么其實(shí) (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相當(dāng)于兩個(gè)相同的數(shù)字相加再除以2，還是其本身。

好，這里需要定義一個(gè)函數(shù)來在兩個(gè)有序數(shù)組中找到第K個(gè)元素，下面重點(diǎn)來看如何實(shí)現(xiàn)找到第K個(gè)元素。首先，為了避免拷貝產(chǎn)生新的數(shù)組從而增加時(shí)間復(fù)雜度，使用兩個(gè)變量i和j分別來標(biāo)記數(shù)組 nums1 和 nums2 的起始位置。然后來處理一些 corner cases，比如當(dāng)某一個(gè)數(shù)組的起始位置大于等于其數(shù)組長度時(shí)，說明其所有數(shù)字均已經(jīng)被淘汰了，相當(dāng)于一個(gè)空數(shù)組了，那么實(shí)際上就變成了在另一個(gè)數(shù)組中找數(shù)字，直接就可以找出來了。還有就是如果 K=1 的話，只要比較 nums1 和 nums2 的起始位置i和j上的數(shù)字就可以了。難點(diǎn)就在于一般的情況怎么處理？因?yàn)樾枰趦蓚€(gè)有序數(shù)組中找到第K個(gè)元素，為了加快搜索的速度，可以使用二分法，那么對誰二分呢，數(shù)組么？其實(shí)要對K二分，意思是需要分別在 nums1 和 nums2 中查找第 K/2 個(gè)元素，注意這里由于兩個(gè)數(shù)組的長度不定，所以有可能某個(gè)數(shù)組沒有第 K/2 個(gè)數(shù)字，所以需要先 check 一下，數(shù)組中到底存不存在第 K/2 個(gè)數(shù)字，如果存在就取出來，否則就賦值上一個(gè)整型較大值（目的是要在 nums1 或者 nums2 中先淘汰 K/2 個(gè)較小的數(shù)字，判斷的依據(jù)就是看 midVal1 和 midVal2 誰更小，但如果某個(gè)數(shù)組的個(gè)數(shù)都不到 K/2 個(gè)，自然無法淘汰，所以將其對應(yīng)的 midVal 值設(shè)為整型較大值，以保證其不會(huì)被淘汰），若某個(gè)數(shù)組沒有第 K/2 個(gè)數(shù)字，則淘汰另一個(gè)數(shù)組的前 K/2 個(gè)數(shù)字即可。舉個(gè)例子來說吧，比如 nums1 = {3}，nums2 = {2, 4, 5, 6, 7}，K=4，要找兩個(gè)數(shù)組混合中第4個(gè)數(shù)字，則分別在 nums1 和 nums2 中找第2個(gè)數(shù)字，而 nums1 中只有一個(gè)數(shù)字，不存在第二個(gè)數(shù)字，則 nums2 中的前2個(gè)數(shù)字可以直接跳過，為啥呢，因?yàn)橐蟮氖钦麄€(gè)混合數(shù)組的第4個(gè)數(shù)字，不管 nums1 中的那個(gè)數(shù)字是大是小，第4個(gè)數(shù)字絕不會(huì)出現(xiàn)在 nums2 的前兩個(gè)數(shù)字中，所以可以直接跳過。

有沒有可能兩個(gè)數(shù)組都不存在第 K/2 個(gè)數(shù)字呢，這道題里是不可能的，因?yàn)镵不是任意給的，而是給的 m+n 的中間值，所以必定至少會(huì)有一個(gè)數(shù)組是存在第 K/2 個(gè)數(shù)字的。最后就是二分法的核心啦，比較這兩個(gè)數(shù)組的第 K/2 小的數(shù)字 midVal1 和 midVal2 的大小，如果第一個(gè)數(shù)組的第 K/2 個(gè)數(shù)字小的話，那么說明要找的數(shù)字肯定不在 nums1 中的前 K/2 個(gè)數(shù)字，可以將其淘汰，將 nums1 的起始位置向后移動(dòng) K/2 個(gè)，并且此時(shí)的K也自減去 K/2，調(diào)用遞歸，舉個(gè)例子來說吧，比如 nums1 = {1, 3}，nums2 = {2, 4, 5}，K=4，要找兩個(gè)數(shù)組混合中第4個(gè)數(shù)字，那么分別在 nums1 和 nums2 中找第2個(gè)數(shù)字，nums1 中的第2個(gè)數(shù)字是3，nums2 中的第2個(gè)數(shù)字是4，由于3小于4，所以混合數(shù)組中第4個(gè)數(shù)字肯定在 nums2 中，可以將 nums1 的起始位置向后移動(dòng) K/2 個(gè)。反之，淘汰 nums2 中的前 K/2 個(gè)數(shù)字，并將 nums2 的起始位置向后移動(dòng) K/2 個(gè)，并且此時(shí)的K也自減去 K/2，調(diào)用遞歸即可，參見代碼如下：

C++ 解法一：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size(), left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(vector<int>& nums1, int i, vector<int>& nums2, int j, int k) {
        if (i >= nums1.size()) return nums2[j + k - 1];
        if (j >= nums2.size()) return nums1[i + k - 1];
        if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
        int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.size()) ? nums1[i + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.size()) ? nums2[j + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        if (midVal1 < midVal2) {
            return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
        } else {
            return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
        }
    }
};

Java 解法一：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {
        if (i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];
        if (j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];
        if (k == 1) return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
        int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        if (midVal1 < midVal2) {
            return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
        } else {
            return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
        }
    }
}

上面的解法一直使用的是原數(shù)組，同時(shí)用了兩個(gè)變量來分別標(biāo)記當(dāng)前的起始位置。我們也可以直接生成新的數(shù)組，這樣就不要用起始位置變量了，不過拷貝數(shù)組的操作可能會(huì)增加時(shí)間復(fù)雜度，也許會(huì)超出限制，不過就算當(dāng)個(gè)思路拓展也是好的。首先要判斷數(shù)組是否為空，為空的話，直接在另一個(gè)數(shù)組找第K個(gè)即可。還有一種情況是當(dāng) K = 1 時(shí)，表示要找第一個(gè)元素，只要比較兩個(gè)數(shù)組的第一個(gè)元素，返回較小的那個(gè)即可。這里分別取出兩個(gè)數(shù)組的第 K/2 個(gè)數(shù)字的位置坐標(biāo)i和j，為了避免數(shù)組沒有第 K/2 個(gè)數(shù)組的情況，每次都和數(shù)組長度做比較，取出較小值。這里跟上面的解法有些許不同，上面解法直接取出的是值，而這里取出的是位置坐標(biāo)，但是思想都是很類似的。不同在于，上面解法中每次固定淘汰 K/2 個(gè)數(shù)字，而這里由于取出了合法的i和j，所以每次淘汰i或j個(gè)。評論區(qū)有網(wǎng)友提出，可以讓 j = k-i，這樣也是對的，可能還更好一些，收斂速度可能會(huì)更快一些，參見代碼如下：

C++ 解法二：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        return (findKth(nums1, nums2, (m + n + 1) / 2) + findKth(nums1, nums2, (m + n + 2) / 2)) / 2.0;
    }
    int findKth(vector<int> nums1, vector<int> nums2, int k) {
        if (nums1.empty()) return nums2[k - 1];
        if (nums2.empty()) return nums1[k - 1];
        if (k == 1) return min(nums1[0], nums2[0]);
        int i = min((int)nums1.size(), k / 2), j = min((int)nums2.size(), k / 2);
        if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
            return findKth(nums1, vector<int>(nums2.begin() + j, nums2.end()), k - j);
        } else {
            return findKth(vector<int>(nums1.begin() + i, nums1.end()), nums2, k - i);
        }
        return 0;
    }
};

Java 解法二：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, nums2, left) + findKth(nums1, nums2, right)) / 2.0;
    }
    int findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        if (m == 0) return nums2[k - 1];
        if (n == 0) return nums1[k - 1];
        if (k == 1) return Math.min(nums1[0], nums2[0]);
        int i = Math.min(m, k / 2), j = Math.min(n, k / 2);
        if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
            return findKth(nums1, Arrays.copyOfRange(nums2, j, n), k - j);
        } else {
            return findKth(Arrays.copyOfRange(nums1, i, m), nums2, k - i);
        }
    }
}

此題還能用迭代形式的二分搜索法來解，是一種相當(dāng)巧妙的應(yīng)用，這里就參照 stellari 大神的帖子來講解吧。所謂的中位數(shù)，換一種角度去看，其實(shí)就是把一個(gè)有序數(shù)組分為長度相等的兩段，中位數(shù)就是前半段的較大值和后半段的最小值的平均數(shù)，也就是離分割點(diǎn)相鄰的兩個(gè)數(shù)字的平均值。比如說對于偶數(shù)個(gè)數(shù)組 [1 3 5 7]，那么分割開來就是 [1 3 / 5 7]，其中 '/' 表示分割點(diǎn)，中位數(shù)就是3和5的平均值。對于奇數(shù)個(gè)數(shù)組 [1 3 4 5 7]，可以分割為 [1 3 4 / 4 5 7]，可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊都有個(gè)4，則中位數(shù)是兩個(gè)4的平均數(shù)，還是4。這里使用L表示分割點(diǎn)左邊的數(shù)字，R表示分割點(diǎn)右邊的數(shù)字，則對于 [1 3 5 7] 來說，L=3，R=5。對于 [1 3 4 5 7] 來說，L=4，R=4。那么對于長度為N的數(shù)組來說，可以分別得到L和R的位置，如下所示：

N Index of L Index of R
1 0 0
2 0 1
3 1 1
4 1 2
5 2 2
6 2 3
7 3 3

觀察上表，可以得到規(guī)律，Idx(L)= (N-1)/2，idx(R) = N/2，所以中位數(shù)可以用下式表示：

(L + R) / 2 = (A[(N - 1) / 2] + A[N / 2]) / 2

為了統(tǒng)一數(shù)組長度為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，可以使用一個(gè)小 tricky，即在每個(gè)數(shù)字的兩邊都加上一個(gè)特殊字符，比如井號，這個(gè) tricky 其實(shí)在馬拉車算法中也使用過。這樣做的好處是不管奇數(shù)或者偶數(shù)，加井號后數(shù)組的長度都是奇數(shù)，并且切割點(diǎn)的位置也是確定的，比如：

[1 3 5 7] -> [# 1 # 3 # 5 # 7 #] N = 4
index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 newN = 9
[1 3 4 5 7] -> [# 1 # 3 # 4 # 5 # 7 #] N = 5
index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 newN = 11

這里的N是原數(shù)組的長度，newN 是添加井號后新數(shù)組的長度，可以發(fā)現(xiàn) newN = 2N+1，而且切割點(diǎn)永遠(yuǎn)都在新數(shù)組中坐標(biāo)為N的位置，且 idx(L) = (N-1)/2，idx(R) = N/2，這里的N就可以換成分割點(diǎn)的位置，豈不美哉（注意這里的 idx(L) 和 idx(R) 表示的是在未填充#號的坐標(biāo)位置）！現(xiàn)在假設(shè)有兩個(gè)數(shù)組：

[1 3 4 5 7] -> [# 1 # 3 # 4 # 5 # 7 #] N1 = 5
index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 newN1 = 11

[1 2 2 2] -> [# 1 # 2 # 2 # 2 #] N2 = 4
index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 newN2 = 9

跟只有一個(gè)數(shù)組的情況類似，這里需要找到一個(gè)切割點(diǎn)，使得其分別可以將兩個(gè)數(shù)組分成左右兩部分，需要滿足的是兩個(gè)左半邊中的任意一個(gè)數(shù)字都要小于兩個(gè)右半邊數(shù)組的數(shù)字，注意這里可能有的左半邊或右半邊會(huì)為空，但是兩個(gè)左半邊數(shù)字的個(gè)數(shù)和應(yīng)該等于兩個(gè)右半邊的個(gè)數(shù)和。這里還可以觀察出一些規(guī)律：

1. 總共有 2N1 + 2N2 + 2 個(gè)位置，那么除去兩個(gè)分割點(diǎn)，兩個(gè)左右半邊應(yīng)該各有 N1 + N2 個(gè)數(shù)字。

2. 因此，對于一個(gè)在 A2 數(shù)組中的分割點(diǎn)位置 C2 = K，在 A1 數(shù)組中的位置應(yīng)該為 C1 = N1 + N2 - K，比如假如在 A2 中的分割點(diǎn)位置為 C2 = 2，那么在 A1 中的位置為 C1 = 4 + 5 - C2 = 7。

[# 1 # 3 # 4 # (5/5) # 7 #]
[# 1 / 2 # 2 # 2 #]

3. 假如兩個(gè)數(shù)組都被分割了，那么就應(yīng)該會(huì)有兩個(gè)L和R，分別是：

L1 = A1[(C1 - 1) / 2]
R1 = A1[C1 / 2]

L2 = A2[(C2 - 1) / 2]
R2 = A2[C2 / 2]

對于上面的例子就有：

L1 = A1[(7 - 1) / 2] = A1[3] = 5
R1 = A1[7 / 2] = A1[3] = 5

L2 = A2[(2 - 1) / 2] = A2[0] = 1
R2 = A2[2 / 2] = A2[1] = 2

現(xiàn)在需要檢測這個(gè)切割點(diǎn)是否是正確的中位數(shù)的切割點(diǎn)，那么根據(jù)之前的分析，任意的左半邊的數(shù)字都需要小于等于右半邊的數(shù)字，L1 和 L2 是左半邊的較大的數(shù)字，R1 和 R2 是右半邊的最小的數(shù)字，所以需要滿足下列關(guān)系：

L1 <= R1 && L1 <= R2 && L2 <= R1 && L2 <= R2

由于兩個(gè)數(shù)組都是有序的，所以 L1 <= R1 和 L2 <= R2 都是滿足的，那么就只需要滿足下列的不等式即可：

L1 <= R2 && L2 <= R1

這樣的話就可以利用二分搜索了，假如 L1 > R2 的話，說明數(shù)組 A1 的左半邊的數(shù)字過大了，需要把切割點(diǎn) C1 往左移動(dòng)。假如 L2 > R1，說明數(shù)組 A2 的左半邊數(shù)字過大，需要把分割點(diǎn) C2 左移。若滿足上面的條件，說明當(dāng)前切割點(diǎn)就是正確的，那么中位數(shù)就可以求出來了，即為：

(max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2

最后還有兩點(diǎn)注意事項(xiàng)：

1. 由于 C1 和 C2 是可以互相計(jì)算而得，即一個(gè)確定了，另一個(gè)就可以計(jì)算出來了。所以盡量去移動(dòng)較短的那個(gè)數(shù)組，這樣得到的時(shí)間復(fù)雜度為 O(lg(min(N1, N2)))。

2. 對于 corner case 的處理，當(dāng)切割點(diǎn)在 0 或者 2n 的位置時(shí)，將L或R的值分別賦值為整型最小值和較大值，這不會(huì)改變正確的切割點(diǎn)的位置，會(huì)使得代碼實(shí)現(xiàn)更加方便。

C++ 解法三：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        if (n == 0) return ((double)nums1[(m - 1) / 2] + (double)nums1[m / 2]) / 2.0;
        int left = 0, right = n * 2;
        while (left <= right) {
            int mid2 = (left + right) / 2;
            int mid1 = m + n - mid2;
            double L1 = mid1 == 0 ? INT_MIN : nums1[(mid1 - 1) / 2];
            double L2 = mid2 == 0 ? INT_MIN : nums2[(mid2 - 1) / 2];
            double R1 = mid1 == m * 2 ? INT_MAX : nums1[mid1 / 2];
            double R2 = mid2 == n * 2 ? INT_MAX : nums2[mid2 / 2];
            if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
            else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
            else return (max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2;
        }
        return -1;
    }
};

Java 解法三：

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        if (n == 0) return (nums1[(m - 1) / 2] + nums1[m / 2]) / 2.0;
        int left = 0, right = 2 * n;
        while (left <= right) {
            int mid2 = (left + right) / 2;
            int mid1 = m + n - mid2;
            double L1 = mid1 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums1[(mid1 - 1) / 2];
            double L2 = mid2 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums2[(mid2 - 1) / 2];
            double R1 = mid1 == m * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums1[mid1 / 2];
            double R2 = mid2 == n * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums2[mid2 / 2];
            if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
            else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
            else return (Math.max(L1, L2) + Math.min(R1, R2)) / 2;
        }
        return -1;
    }
}

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文章題目：C++怎么實(shí)現(xiàn)兩個(gè)有序數(shù)組的中位數(shù)-創(chuàng)新互聯(lián)
文章起源：http://bm7419.com/article40/iigho.html

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